 |
| Çevre açı θ, çember üzerindeki aynı yayı oluşturan (veya gören) merkezi açı 2θ'nın yarısıdır. Böylece, θ açısı, tepe noktası çember üzerinde hareket ettirildikçe değişmez. |
Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.
Eşdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitiş noktasını paylaşan çemberin iki kirişiyle tanımlanır.
Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir.
Çevre açı teoremi, Öklid'in "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür.
{tocify} $title={İçindekiler}
Teorem
Açıklama
Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir θ açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı 2θ'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez.
 |
| Sabit A ve B noktaları için, ∠AMB açısının eşit olduğu düzlemdeki M noktaları kümesi α bir çemberin yaydır. O'nun çemberin merkezi olduğu ∠AOB'nin ölçüsü, 2α'dır. |
 |
| Durum: Bir kiriş çaptır. |
İspat
Bir kirişin çap olduğu çevre açılar
Şekilde görüldüğü gibi O bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara V ve A diyelim. VO doğrusunu çizelim ve O'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece V noktasının çapa göre zıttı olan B noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası V olan ve kenarları A ve B noktalarından geçen bir açı çizelim.
OA doğrusunu çizelim. Açı BOA, bir merkez açıdır; buna θ diyelim. OV ve OA çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle, △VOA üçgeni ikizkenardır, öyle ise ∠BV A açısı (çevre açı) ve ∠VAO açısı eşittir; her birini ψ olarak gösterelim.
∠BOA ve ∠AOV açıları bütünlerdir. O'dan geçen VB çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları 180°'ye kadar artar. Bu nedenle, ∠AOV açısının ölçüsü olarak 180° - θ alınabilir.
Bir üçgenin üç açısının toplamının 180° olduğu ve △VOA üçgeninin üç açısının:
açı1 = 180° - θ
açı2 = ψ
açı3 = ψ
Bu nedenle,
2ψ + 180° - θ = 180°
Her iki taraftan 180° çıkarırsak,
2ψ = θ,
burada θ, AB yayını gören merkez açı ve ψ, AB yayını oluşturan çevre açıdır.
 |
| Durum: İçten açıya merkez |
Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılar
Merkezi O noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta V, C ve D alalım. VC ve VD doğrularını çizelim: ∠DVC açısı, bir çevre açıdır. Şimdi VO doğrusunu çizelim ve onu E noktasında çemberle kesişecek şekilde O noktasını geçecek şekilde uzatalım. ∠DVC açısı, çember üzerindeki DC yayını görür.
Bu yayın, içinde E noktasını içerdiğini varsayalım. E noktası, V noktasının çapa göre karşısıdır. ∠DVE ve ∠EVC açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.
Bu nedenle,
∠DVC = ∠DVE + ∠EVC.
o zaman,
ψ0 = ∠DVC,
ψ1 = ∠DVE,
ψ2 = ∠EVC,
Böylece
ψ0 = ψ0 + ψ0 . (1)
OC ve OD doğrularını çizelim. ∠DOE ve ∠EOC açıları gibi ∠DOC açısı da merkezi bir açıdır ve
∠DOC = ∠DOE + ∠EOC.
θ0 = ∠DOC,
θ1 = ∠DOE,
θ2 = ∠EOC,
olsun, böylece
θ0 = θ1 + θ2. (2)
Birinci bölümden biliyoruz ki θ1 = 2ψ1 ve θ2 = 2ψ2'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir:
θ0 = 2ψ1 + 2ψ2 = 2(ψ1 + ψ2)
bu nedenle, denklem (1)'den aşağıdaki sonuç elde edilir:
θ0 = 2ψ0.
 |
| Durum: Merkez, açının dışında |
Çemberin merkezi, açının dışında kalan çevre açılar
Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir.
Merkezi O noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta V, C ve D seçilsin. VC ve VD doğrularını çizelim: ∠DVC açısı, bir çevre açıdır. Şimdi VO doğrusunu çizelim ve E noktasında çemberle kesişecek ve O noktasını geçecek şekilde uzatalım. ∠DVC açısı, çember üzerindeki DC yayını görür.
Bu yayın, içinde E noktasını içermediğini varsayalım. E noktası, V noktasının çapa göre zıttıdır. ∠EVD ve ∠EVC açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.
Bu nedenle,
∠DVC = ∠EVC - ∠EVD.
o zaman,
ψ0 = ∠DVC,
ψ1 = ∠EVD,
ψ2 = ∠EVC,
olsun, böylece
ψ0 = ψ2 - ψ1 (3)
OC ve OD doğrularını çizelim. ∠EOD ve ∠EOC açıları gibi ∠DOC açısı da merkezi bir açıdır ve
∠DOC = ∠EOC - ∠EOD.
θ0 = ∠DOC,
θ1 = ∠EOD,
θ2 = ∠EOC,
olsun, böylece
θ0 = θ2 - θ1 (4)
Birinci bölümden biliyoruz ki θ1 = 2ψ1θ1 = 2ψ1 ve şu θ2 = 2ψ2. Bu sonuçların denklem (4) ile birleştirilmesi,
θ0 = 2ψ2 - 2ψ1
bu nedenle, denklem (3) ile aşağıdaki ifadeye ulaşılır:
θ0 = 2ψ0 .
Sonuç
Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.
Uygulamalar
Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman 90°, yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı 180°'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir.
Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleri
Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.)
- Elips
- Hiperbol
- Parabol
çevre açı ne demek TDK sözlük anlamı ve açıklaması nedir?
isim, matematik
Geometride, bir çemberin iç bölgesinde, köşesi çember üzerinde bulunan açı.
Orta Öğretim Terimleri Kılavuzu - 1963
bk. çevre açısı